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向量叉乘的几何意义

2020-03-22 07:51核心: 教育

几何意义:叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c,可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。

向量叉乘的几何意义

向量积(矢积)与数量积(标积)的区别

名称标积/内积/数量积/点积矢积/外积/向量积/叉积
运算式(a,b和c粗体字,表示向量)a·b=|a||b|·cosθa×b=c,其中|c|=|a||b|·sinθ,c的方向遵守右手定则
几何意义向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积c是垂直a、b所在平面,且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积
运算结果的区别标量(常用于物理)/数量(常用于数学)矢量(常用于物理)/向量(常用于数学)

叉乘几何意义及用途

在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

常用于以下情况:

通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系;

当a是单位向量时,计算b终点到a所在直线的距离;

在二维空间中,aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。